Ященко ЕГЭ 2024. Математика. Профильный уровень. Варианты 36. Вариант 3. Решение.

В данной статье будут представлены решения заданий по математике, профильному уровню, варианта 3 из ЕГЭ 2024 по методике Ященко. Упражнения будут поданы в виде вариантов 36. В ходе испытания вы сможете проверить свои знания и навыки в области математики, применяя различные методы решения задач.

Для успешной подготовки к ЕГЭ по математике важно не только знание формул и правил, но и умение их применять в практических заданиях. Вариант 3 из 36 предлагает разнообразные задачи, которые позволяют отработать различные аспекты математики: от алгебры до геометрии, от вероятностных расчетов до уравнений и систем уравнений.

В процессе решения вы узнаете, как правильно формулировать и моделировать математические задачи, как работать с графиками и таблицами, как находить решения алгебраических и геометрических уравнений. Этот вариант даст вам возможность проверить свои знания и навыки в математике и подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ на высокий балл.

Основные темы заданий

В данном варианте ЕГЭ по математике на профильном уровне представлены задания, охватывающие следующие основные темы:

1. Геометрические преобразования

Задания данной темы проверяют знание и умение применять простейшие геометрические преобразования, такие как поворот, отражение, симметрия, смещение и масштабирование. Ученикам предлагается определить координаты точек после применения данных преобразований или провести эти преобразования с уже заданными точками.

2. Аналитическая геометрия

В заданиях, относящихся к аналитической геометрии, требуется определение различных характеристик геометрических фигур, таких как расстояние между двумя точками, угол между прямыми, уравнение прямой или плоскости, а также определение пересечений различных геометрических объектов.

3. Тригонометрия

Тема тригонометрии предполагает решение задач на определение значений тригонометрических функций, построение графиков тригонометрических функций, а также решение уравнений и неравенств, включающих тригонометрические функции.

4. Функции

В данной теме представлены задания на работу с различными типами функций, такими как линейные, квадратичные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Ученикам предлагается определить область определения и область значений функций, построить графики функций, а также решить уравнения и неравенства, связанные с данными функциями.

Решение заданий по каждой из этих тем поможет ученикам закрепить свои знания в соответствующих областях математики и подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ на профильном уровне.

Задание 1: Анализ уравнений с параметром

В данном задании предлагается исследовать уравнения с параметром на их решения и зависимость от значения параметра. Уравнения с параметром часто встречаются в математическом анализе и играют важную роль в решении различных задач.

Для начала необходимо записать уравнение с параметром в общем виде. Затем, используя алгебраические методы решения уравнений, определить значения параметра, при которых уравнение имеет решение, и найти само решение.

Далее можно провести анализ полученных решений в зависимости от значения параметра. Определить области значений параметра, при которых уравнение имеет единственное решение, бесконечное количество решений или не имеет решений. Важно также выделить особые значения параметра, при которых происходят переходы между различными типами решений.

Кроме того, можно провести графический анализ уравнения с параметром, нарисовав график функции, заданной уравнением. При этом необходимо учитывать различные случаи: когда параметр принимает значение из диапазона, при котором уравнение имеет решение, и когда не имеет решения. График позволяет наглядно представить зависимость решения от значения параметра.

Исследование уравнений с параметром позволяет получить более глубокое понимание их свойств и использовать эту информацию для решения сложных математических задач.

Задание 2: Графики и функции

Во втором задании дано графическое представление функции. Необходимо определить, какому графику соответствует данный график функции и найти значения аргумента, при которых функция достигает экстремумов или точек перегиба.

Для решения задания следует обратить внимание на основные характеристики графика функции, а именно на его форму, направление стрелок и наличие точек перегиба или экстремумов.

Вначале следует оценить форму графика. Если график представляет собой прямую, то функция является линейной. Если график представляет собой параболу, то функция является квадратичной. Если график имеет форму синусоиды или косинусоиды, то функция является тригонометрической.

Далее следует определить направление стрелок на графике. Если функция возрастает (стремится к бесконечности) справа налево, то график функции будет иметь стрелку вверх. Если функция убывает (стремится к минус бесконечности) справа налево, то график функции будет иметь стрелку вниз. В случае, если функция имеет то и другое, то график будет иметь несколько стрелок вверх и вниз.

Если на графике функции есть точки перегиба, то следует найти значение аргумента, при котором у функции меняется выпуклость или вогнутость графика. Для этого необходимо произвести анализ второй производной функции. Если вторая производная меняет знак на точке перегиба, то график будет иметь точку перегиба. Далее следует найти значения аргумента, при которых функция достигает экстремумов. Для этого необходимо произвести анализ первой производной функции. Если первая производная равна нулю, то функция достигает экстремума в данной точке.

Задание 3: Расчет вероятности

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику и формулу вероятности.

Данная задача требует найти вероятность того, что из группы из 8 человек, в которой 3 мальчика и 5 девочек, выбираются 2 человека. При этом необходимо определить вероятность того, что среди выбранных будут мальчик и девочка.

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику и формулу вероятности.

Сначала рассмотрим все возможные комбинации из 2 человек, выбранных из группы из 8. Общее количество комбинаций можно найти с помощью формулы сочетаний:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Где n — общее количество элементов в группе (8), k — количество элементов, которые необходимо выбрать (2).

Далее, мы должны определить количество комбинаций, в которых будет и мальчик и девочка. Количество таких комбинаций можно найти следующим образом:

C₃¹ * C₅¹ = 3 * 5 = 15.

Затем мы можем определить вероятность того, что из 2 выбранных человек будет и мальчик и девочка. Для этого необходимо разделить количество комбинаций, в которых будет и мальчик и девочка, на общее количество комбинаций:

15 / C₈² = 15 / 28 ≈ 0,54.

Таким образом, вероятность того, что из группы из 8 человек, выбранных 2 человека, окажется мальчик и девочка, составляет примерно 0,54 или 54%.

Задание 4: Доказательство тождеств

Для доказательства тождеств мы используем алгебраические преобразования и логические законы. Наша цель — привести левую и правую части тождества к одному виду. Если после этих преобразований левая и правая части станут равными, то мы можем считать тождество доказанным.

Для доказательства тождеств можно использовать следующие приемы:

1. Замена переменных. Можно заменить переменные на другие или выразить их через другие переменные, чтобы упростить выражение.
2. Сокращение членов. Можно сократить одинаковые члены в левой и правой части тождества.
3. Раскрытие скобок. Можно раскрыть скобки, чтобы получить более простое выражение.
4. Приведение подобных слагаемых. Можно сложить или вычесть подобные слагаемые, чтобы упростить выражение.
5. Использование тригонометрических тождеств. При решении задач на тождества можно использовать известные тригонометрические тождества, чтобы преобразовать выражение.

При решении задач на доказательство тождеств очень важно тщательно проводить все преобразования и быть внимательным к каждому действию. Даже небольшая ошибка может привести к неправильному ответу.

Таким образом, доказательство тождеств — это важный навык, который поможет нам решать сложные задачи в математике и доказывать различные утверждения.

Задание 5: Комбинаторика и перестановки

Чтобы решить задачи комбинаторики и перестановок, важно знать основные понятия и правила. Ниже приведены основные понятия, которые помогут вам в решении задач:

Факториал – факториал числа n обозначается n! и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Перестановка без повторений – это упорядоченное размещение элементов множества без повторений. Например, для множества {a, b, c} можно составить 6 различных перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Перестановка с повторениями – это упорядоченное размещение элементов множества с повторениями. Например, для множества {a, a, b} можно составить 3 различных перестановки: aab, aba, baa.

В задачах комбинаторики и перестановок важно внимательно читать условие и правильно определить, какое правило комбинаторики следует использовать. Также необходимо быть внимательными при подсчёте возможных комбинаций и перестановок. Будьте внимательны и аккуратны, и вы успешно справитесь с задачами данной темы!

Задание 6: Построение функций

В шестом задании вам предлагается построить функцию, заданную графически.

Функция может быть представлена в виде ломаной линии, состоящей из отрезков прямых, соединяющих точки на координатной плоскости.

Для построения функции необходимо определить координаты нескольких точек на графике и провести между ними прямые линии.

Координаты точек можно определить, анализируя график функции. Необходимо обратить внимание на экстремумы, точки перегиба и поведение графика на бесконечности.

Также необходимо учитывать данные из условия задачи. Это могут быть, например, значения функции в некоторых точках или условия на разных интервалах.

Построение функции может быть осуществлено с использованием графических средств, например, линейки и графического калькулятора, либо с использованием компьютерных программ.

Построенный график функции может быть использован для дальнейших исследований. Например, можно определить значения функции в некоторых точках, найти асимптоты, экстремумы и перегибы, а также провести анализ поведения функции на разных интервалах.

Важно помнить, что график функции должен соответствовать ее определению и выполнять все указанные в условии задачи условия.

Построение функции — это одна из важных задач математического анализа, которая позволяет лучше понять свойства и поведение функции на плоскости.

Задание 7: Решение систем уравнений

Для решения системы уравнений необходимо найти значения переменных, при которых все уравнения системы выполняются.

Существует несколько методов решения систем уравнений: метод подстановки, метод исключения и метод Гаусса. В данном задании мы будем использовать метод исключения.

Для начала, систему уравнений следует привести к удобному для решения виду. Если система задана в виде линейных уравнений, то следует использовать метод исключения.

Метод исключения заключается в последовательном исключении одной переменной из уравнений путем сложения или вычитания уравнений системы.

Приведем пример решения системы уравнений:

Решим систему уравнений:

5x + 3y = 13 (1)

2x — 4y = -6 (2)

Умножим уравнение (1) на 2 и вычтем из него уравнение (2):

10x + 6y — (2x — 4y) = 26 — (-6)

10x + 6y — 2x + 4y = 32

8x + 10y = 32

Решим полученное уравнение:

8x + 10y = 32

Умножим уравнение на 2:

16x + 20y = 64

Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы (1):

16x + 20y — (5x + 3y) = 64 — 13

16x + 20y — 5x — 3y = 51

11x + 17y = 51

Таким образом, получили систему из двух уравнений:

8x + 10y = 32 (3)

11x + 17y = 51 (4)

Решим полученную систему.

Для этого умножим уравнение (3) на 11 и уравнение (4) на 8 и вычтем одно из другого:

88x + 110y — (88x + 136y) = 352 — 408

88x + 110y — 88x — 136y = -56

-26y = -56

y = 2

Подставим найденное значение y в одно из уравнений системы и найдем значение x:

11x + 17 * 2 = 51

11x + 34 = 51

11x = 51 — 34

11x = 17

x = 1,54

Таким образом, решение системы уравнений:

x = 1,54

y = 2